Calculando Limites: Uma Análise Passo A Passo

Olá, pessoal! Vamos mergulhar no mundo dos limites e resolver uma questão que pode parecer um pouco assustadora à primeira vista. A pergunta que temos é: Qual é o valor do limite de (2/x) - (0x + 3xcos(x)) quando x se aproxima de 0? As alternativas são: a) 3/2, b) 0, c) 1, d) 2/3. Vamos desvendar esse mistério juntos, utilizando as regras dos limites para chegar à resposta correta. Preparem seus cadernos e canetas, porque a matemática está prestes a começar!

Para começar, vamos entender o que o problema está pedindo. Em termos simples, estamos tentando descobrir o que acontece com a expressão (2/x) - (0x + 3xcos(x)) à medida que o valor de x se aproxima de zero. A chave para resolver esse tipo de problema é aplicar as propriedades dos limites e simplificar a expressão para que possamos avaliar o limite de forma mais direta. Vamos começar separando a expressão em partes menores e analisar cada uma delas.

Dividindo para Conquistar: Análise por Partes

Primeiramente, vamos simplificar a expressão original. Note que 0x é simplesmente 0, então podemos reescrever a expressão como (2/x) - 3xcos(x). Agora, vamos analisar cada termo separadamente. O primeiro termo, 2/x, é uma fração. À medida que x se aproxima de 0, o valor de 2/x tende ao infinito (positivo ou negativo, dependendo do lado que x se aproxima de 0). Isso nos dá uma pista importante: o limite pode não existir, ou precisamos tomar um cuidado extra na hora de avaliar. O segundo termo, -3xcos(x), parece mais amigável. O cosseno de x, cos(x), varia entre -1 e 1. Quando multiplicamos x por cos(x), e x se aproxima de 0, a expressão -3xcos(x) também se aproxima de 0, pois qualquer número multiplicado por 0 é 0. Agora, vamos juntar tudo e ver como isso nos ajuda a encontrar a resposta. É importante lembrar que, para calcular o limite da soma ou diferença de funções, podemos calcular o limite de cada função separadamente e, em seguida, somar ou subtrair os resultados.

Aplicando as Regras dos Limites

Com a análise por partes em mãos, podemos começar a aplicar as regras dos limites. A regra básica que vamos usar é que o limite da diferença de duas funções é a diferença dos limites, desde que esses limites existam. Formalmente, se lim (f(x)) = L1 e lim (g(x)) = L2, então lim (f(x) - g(x)) = L1 - L2. No nosso caso, temos: lim (2/x) e lim (-3xcos(x)). Já sabemos que o limite de -3xcos(x) é 0, porque o produto de x e cos(x) se aproxima de 0 quando x se aproxima de 0. Agora, a parte crucial: o limite de 2/x quando x se aproxima de 0. Como mencionamos antes, essa parte não tem um limite definido no sentido tradicional, porque tende ao infinito. Mas a questão pede um valor específico. Isso sugere que pode haver uma pegadinha ou que precisamos manipular a expressão original de alguma forma.

Simplificando e Avaliando o Limite

Vamos voltar à expressão original: (2/x) - 3xcos(x). Se tentarmos substituir x por 0 diretamente, teremos uma indeterminação (2/0 - 0). Uma estratégia comum em cálculo é tentar reescrever a expressão para evitar indeterminações. Nesse caso, podemos tentar aplicar a regra de L'Hôpital, que é útil quando temos limites do tipo 0/0 ou ∞/∞. No entanto, a forma original não se encaixa perfeitamente nesse padrão. Vamos tentar uma abordagem diferente. Vamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de 0.

Reorganizando a Expressão

Podemos tentar reescrever a expressão original para facilitar a análise. No entanto, a forma original já é bastante simplificada. O termo -3xcos(x) se aproxima de 0 quando x se aproxima de 0. Portanto, o problema se resume a avaliar o que acontece com 2/x quando x se aproxima de 0. Como 2/x se aproxima do infinito (positivo ou negativo), o limite da expressão original não existe ou é infinito. No entanto, como as alternativas fornecem valores finitos, a questão pode ter uma interpretação diferente ou pode haver um erro.

Avaliando as Alternativas

Vamos analisar as alternativas para ver qual delas faz mais sentido, considerando o que descobrimos.

• a) 3/2: Parece improvável, pois não há nenhum termo na expressão original que possa resultar em 3/2.
• b) 0: Essa é uma possibilidade, se considerarmos que o termo -3xcos(x) se aproxima de 0. Mas o termo 2/x complica a situação.
• c) 1: Similar à alternativa a), não há evidências diretas na expressão original que sugiram esse valor.
• d) 2/3: Também não parece ser uma possibilidade direta.

Considerando a natureza da expressão e a nossa análise, a resposta mais próxima, embora não perfeitamente precisa, seria b) 0, pois o termo -3xcos(x) domina o comportamento da função perto de 0, e o termo 2/x tende ao infinito. No entanto, é importante notar que, formalmente, o limite não existe devido à indeterminação de 2/x. A questão pode estar buscando uma aproximação ou uma simplificação que não é totalmente evidente.

Conclusão e Considerações Finais

Em resumo, a análise do limite de (2/x) - 3xcos(x) quando x se aproxima de 0 revela algumas nuances. O termo -3xcos(x) tende a 0, enquanto o termo 2/x tende ao infinito, criando uma indeterminação. Apesar disso, considerando as alternativas fornecidas, a resposta mais plausível é b) 0, embora seja crucial reconhecer as limitações e a possível imprecisão da questão. Para ter certeza, seria útil verificar a questão original ou ter informações adicionais sobre o contexto em que ela foi apresentada. A resolução de problemas de limites é uma habilidade fundamental em cálculo, e este exemplo demonstra a importância de entender as propriedades dos limites, a análise por partes e a avaliação cuidadosa das indeterminações. Continuem praticando e explorando o fascinante mundo da matemática! Se tiverem mais dúvidas, podem perguntar. Até a próxima!