Descubra O Próximo Termo Da PG: Guia Completo E Fácil

Olá, pessoal! 👋 Hoje, vamos mergulhar no mundo das progressões geométricas (PGs) e desvendar um probleminha que pode parecer complicado à primeira vista, mas que, com um pouco de calma e os passos certos, se torna super fácil de resolver. A questão que nos traz aqui é: Qual é o próximo termo da progressão geométrica dada pelos números ${\dfrac{81}{25}, \dfrac{27}{5}, 9}$? E temos algumas opções para escolher: A) 18 B) 36 C) 45 D) 72. Vamos juntos desvendar essa charada e aprender a encontrar a razão da PG, que é a chave para a solução! 😎

Entendendo as Progressões Geométricas (PGs)

Antes de mais nada, vamos relembrar o que são as progressões geométricas. Em uma PG, cada termo (com exceção do primeiro) é obtido multiplicando o termo anterior por um valor constante, que chamamos de razão (q). É como uma escada, onde cada degrau sobe ou desce de forma multiplicativa. Se a razão for maior que 1, a PG cresce; se estiver entre 0 e 1, a PG decresce; e se for negativa, ela oscila. A graça da PG está justamente nessa progressão constante, que nos permite prever o futuro da sequência.

Para visualizar, imagine uma sequência simples: 2, 4, 8, 16... A razão aqui é 2, pois cada termo é o dobro do anterior. No nosso problema, temos frações, mas a lógica é a mesma. Precisamos encontrar essa razão para descobrir qual será o próximo número da sequência. A beleza da matemática é que, com algumas fórmulas e um pouco de raciocínio, desvendamos esses mistérios! 💪

O Segredo da Razão (q)

Encontrar a razão (q) é o coração da resolução de qualquer problema de PG. A fórmula básica é: q = termo_seguinte / termo_anterior. Ou seja, dividimos um termo pelo seu antecessor para descobrir qual é a razão que governa a sequência. No nosso exemplo, temos os termos ${\dfrac{81}{25}, \dfrac{27}{5}, 9}$. Vamos calcular a razão usando os dois primeiros termos, e depois, para ter certeza, usaremos os dois últimos. É como uma dupla checagem, para garantir que estamos no caminho certo.

• Cálculo 1: q = (27/5) / (81/25). Para dividir frações, invertemos a segunda e multiplicamos: q = (27/5) * (25/81). Simplificando, temos q = (1*5) / (3*1) = 5/3.
• Cálculo 2: q = 9 / (27/5). Invertendo e multiplicando: q = 9 * (5/27). Simplificando, temos q = (1*5) / (3*1) = 5/3.

Perceberam? Em ambos os casos, a razão (q) é 5/3. Isso significa que cada termo da nossa PG é multiplicado por 5/3 para obter o próximo. Agora que temos a razão, estamos prontos para descobrir o próximo termo! 🚀

Desvendando o Próximo Termo

Agora que conhecemos a razão, vamos encontrar o próximo termo da nossa PG. O último termo que temos é 9. Para encontrar o próximo, basta multiplicar este termo pela razão (5/3). Matematicamente, isso se traduz em:

Próximo Termo = 9 * (5/3)

Simplificando a expressão, temos:

Próximo Termo = (9/3) * 5 = 3 * 5 = 15

Então, o próximo termo da PG é 15. Mas... espera um pouco! 🧐 Olhando para as alternativas que nos foram dadas (A) 18 B) 36 C) 45 D) 72), percebemos que 15 não é uma das opções. Onde será que erramos? 🤔

Ah, já sei! A pegadinha está na simplificação. Vamos refazer o cálculo com mais cuidado, para não cair em nenhuma armadilha. Vamos multiplicar o último termo, que é 9, pela razão que encontramos, 5/3:

Próximo Termo = 9 * (5/3)

Podemos reescrever o 9 como 9/1 para facilitar a multiplicação de frações:

Próximo Termo = (9/1) * (5/3)

Multiplicamos os numeradores (9 * 5 = 45) e os denominadores (1 * 3 = 3):

Próximo Termo = 45/3

Agora, dividimos 45 por 3:

Próximo Termo = 15

Continuamos encontrando 15 como resposta, mas ainda não é uma das alternativas. Aparentemente, o cálculo está correto. O que pode ter acontecido? 🤔 Voltando aos termos da PG ${\dfrac{81}{25}, \dfrac{27}{5}, 9}$, e observando as alternativas, percebemos que pode haver um erro na formulação do problema ou nas alternativas, pois 15 não está presente. Mas, seguindo a lógica da PG, a resposta correta, utilizando os cálculos que fizemos, deveria ser 15. Entretanto, nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado esperado. Analisando as alternativas, a que mais se aproxima seria a letra B) 36.

Conclusão: A Importância de Entender a PG

Dominar as progressões geométricas é essencial para quem busca entender a matemática financeira, as sequências numéricas e diversas aplicações no mundo real. Através deste exercício, vimos como identificar a razão, um passo crucial para prever termos futuros em uma PG. Embora tenhamos encontrado um resultado que não corresponde a nenhuma das alternativas, o processo de resolução demonstra o valor de entender os conceitos e aplicar as fórmulas corretamente. 😉

Lembre-se: a prática leva à perfeição. Quanto mais você resolver exercícios de PG, mais fácil será identificar padrões e resolver problemas. Continue estudando, aplicando os conceitos e, acima de tudo, não tenha medo de errar. Os erros são oportunidades de aprendizado! 👍

Se tiver qualquer dúvida, deixe um comentário! E não se esqueça de compartilhar este guia com seus amigos que também estão estudando matemática. Juntos, podemos desvendar todos os mistérios da PG! 😉📚