Dilatasi Fungsi F(X) = 2x - 3: Skala & Pusat

Hey guys, kali ini kita bakal bahas soal dilatasi fungsi. Dilatasi itu apa sih? Gampangnya, dilatasi itu transformasi yang mengubah ukuran suatu objek, bisa diperbesar atau diperkecil. Nah, di soal ini, kita punya fungsi F(X) = 2x - 3, dan kita mau cari tahu gimana sih perubahannya kalau didilatasi dengan skala dan pusat yang berbeda-beda. Yuk, kita bahas satu per satu!

a) Dilatasi Vertikal dengan Skala 3

Oke, yang pertama kita akan membahas mengenai dilatasi vertikal dengan skala 3. Apa sih maksudnya dilatasi vertikal? Jadi, dilatasi vertikal itu mengubah posisi suatu titik pada suatu fungsi atau grafik searah sumbu Y. Kalau skalanya 3, berarti semua titik pada fungsi F(X) akan menjauh dari sumbu X sebanyak 3 kali lipat dari posisi semula. Dalam kata lain, nilai Y-nya yang berubah.

Untuk melakukan dilatasi vertikal, kita cukup mengalikan fungsi awal dengan faktor skala. Dalam kasus ini, faktor skalanya adalah 3. Jadi, fungsi hasil dilatasinya akan menjadi:

F'(X) = 3 * F(X) = 3 * (2x - 3) = 6x - 9

Jadi, setelah didilatasi secara vertikal dengan skala 3, fungsi F(X) = 2x - 3 berubah menjadi F'(X) = 6x - 9. Coba bayangin grafiknya, guys. Grafiknya akan meregang secara vertikal, menjauhi sumbu X. Kemiringan garisnya juga berubah, jadi lebih curam dari sebelumnya.

Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat contoh titik pada fungsi awal dan fungsi hasil dilatasi:

Misalnya, kita ambil titik dengan X = 0 pada fungsi F(X) = 2x - 3. Nilai Y-nya adalah F(0) = 2(0) - 3 = -3. Sekarang, kita lihat titik yang sama pada fungsi hasil dilatasi F'(X) = 6x - 9. Nilai Y-nya adalah F'(0) = 6(0) - 9 = -9. Nah, kelihatan kan perbedaannya? Nilai Y-nya menjadi 3 kali lebih kecil setelah dilatasi vertikal. Hal ini berlaku untuk semua titik pada fungsi tersebut.

Dalam dilatasi vertikal, hal yang perlu diingat adalah nilai X pada fungsi tidak mengalami perubahan. Yang berubah hanyalah nilai Y, yang dikalikan dengan faktor skala. Ini membuat grafik fungsi meregang atau menyusut secara vertikal. Jadi, kalau kita punya fungsi yang lebih kompleks, prinsipnya tetap sama: kalikan seluruh fungsi dengan faktor skala untuk mendapatkan hasil dilatasi vertikalnya. Dilatasi vertikal ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi, seperti dalam desain grafis, pemodelan matematika, dan analisis data.

b) Dilatasi Horizontal dengan Skala 1/2

Sekarang, mari kita bahas dilatasi horizontal dengan skala 1/2. Kalau tadi dilatasi vertikal mengubah posisi titik searah sumbu Y, dilatasi horizontal ini mengubah posisi titik searah sumbu X. Skala 1/2 berarti fungsi akan menyusut secara horizontal, mendekati sumbu Y. Jadi, kalau tadi kita meregangkan fungsi secara vertikal, sekarang kita kayak mencubitnya dari samping.

Perbedaannya dengan dilatasi vertikal, pada dilatasi horizontal, kita tidak mengalikan seluruh fungsi dengan faktor skala. Melainkan, kita mengganti variabel X dalam fungsi dengan X dibagi faktor skala. Dalam kasus ini, faktor skalanya adalah 1/2, jadi kita akan mengganti X dengan X / (1/2) atau sama dengan 2X. Fungsi hasil dilatasinya akan menjadi:

F'(X) = F(2X) = 2(2X) - 3 = 4X - 3

Jadi, setelah didilatasi secara horizontal dengan skala 1/2, fungsi F(X) = 2x - 3 berubah menjadi F'(X) = 4X - 3. Kebayang kan grafiknya sekarang jadi lebih rapat secara horizontal? Grafiknya seperti tertekan dari samping sehingga terlihat lebih curam.

Mari kita lihat contoh titik lagi untuk memahaminya lebih dalam. Kita ambil X = 2 pada fungsi awal F(X) = 2x - 3. Nilai Y-nya adalah F(2) = 2(2) - 3 = 1. Sekarang, kita cari nilai X yang sama pada fungsi hasil dilatasi F'(X) = 4X - 3 untuk mendapatkan nilai Y yang sama. Kita selesaikan persamaan 1 = 4X - 3, dan kita dapatkan X = 1. Nah, lihat perbedaannya? Untuk mendapatkan nilai Y yang sama, kita membutuhkan nilai X yang lebih kecil pada fungsi hasil dilatasi. Ini menunjukkan bahwa fungsi telah menyusut secara horizontal.

Dilatasi horizontal ini bisa dibilang kebalikan dari dilatasi vertikal. Alih-alih mengubah nilai Y, kita mengubah nilai X. Ini membuat grafik fungsi meregang atau menyusut secara horizontal. Jadi, ingat ya, kalau dilatasi horizontal, kita mengganti X dengan X dibagi faktor skala. Konsep ini sangat penting dalam berbagai aplikasi, termasuk dalam pengolahan citra, di mana kita bisa mempersempit atau memperlebar gambar tanpa mengubah tinggi atau lebarnya secara proporsional. Dalam matematika terapan, dilatasi horizontal membantu kita memahami bagaimana perubahan skala pada sumbu X mempengaruhi perilaku suatu fungsi.

c) Dilatasi dengan Pusat (2,1) dan Skala 2

Nah, ini yang sedikit lebih menantang, guys: dilatasi dengan pusat (2,1) dan skala 2. Kalau tadi kita hanya berurusan dengan dilatasi terhadap sumbu X atau Y, sekarang kita punya pusat dilatasi yang spesifik, yaitu titik (2,1). Ini berarti titik (2,1) akan menjadi titik tetap, dan semua titik lainnya akan menjauh atau mendekat dari titik ini sebanyak 2 kali lipat.

Untuk melakukan dilatasi dengan pusat dan skala tertentu, kita perlu melakukan beberapa langkah. Pertama, kita translasi fungsi awal sehingga pusat dilatasi berpindah ke titik asal (0,0). Kedua, kita lakukan dilatasi dengan skala yang diberikan. Ketiga, kita translasi balik fungsi hasil dilatasi sehingga pusat dilatasi kembali ke posisi semula.

Langkah 1: Translasi ke Pusat (0,0)

Untuk mentranslasi fungsi F(X) = 2x - 3 sehingga pusat (2,1) berpindah ke (0,0), kita perlu mengganti X dengan (X + 2) dan Y dengan (Y + 1). Kenapa begitu? Karena kita ingin menggeser titik (2,1) ke (0,0), jadi kita perlu mengurangkan 2 dari X dan 1 dari Y. Fungsi setelah translasi menjadi:

Y + 1 = 2(X + 2) - 3 Y + 1 = 2X + 4 - 3 Y = 2X + 1 - 1 Y = 2X

Jadi, setelah translasi, fungsi kita menjadi Y = 2X. Pusat dilatasi sekarang berada di titik asal (0,0).

Langkah 2: Dilatasi dengan Skala 2

Sekarang, kita lakukan dilatasi dengan skala 2. Karena pusat dilatasi sudah berada di titik asal, kita bisa langsung mengalikan fungsi dengan faktor skala. Dalam hal ini, kita akan mengalikan Y dengan 2:

2Y = 2X Y = X

Ups, sepertinya ada kesalahan di langkah sebelumnya. Kita seharusnya tidak mengalikan Y dengan 2, karena dilatasi terhadap pusat (0,0) hanya mempengaruhi nilai X. Jadi, kita seharusnya mengganti X dengan X/2 (kebalikan dari skala) pada fungsi Y = 2X:

Y = 2(X/2) Y = X

Fungsi setelah dilatasi dengan skala 2 tetap Y = X.

Langkah 3: Translasi Balik ke Pusat (2,1)

Terakhir, kita translasi balik fungsi hasil dilatasi sehingga pusat dilatasi kembali ke posisi semula (2,1). Caranya, kita mengganti X dengan (X - 2) dan Y dengan (Y - 1):

Y - 1 = X - 2 Y = X - 1

Nah, kita belum selesai! Kita harus ingat bahwa fungsi awal kita adalah F(X) = 2x - 3, jadi kita perlu mengganti Y dengan F'(X) untuk mendapatkan fungsi hasil dilatasi yang sebenarnya:

F'(X) = X - 1

Jadi, setelah didilatasi dengan pusat (2,1) dan skala 2, fungsi F(X) = 2x - 3 berubah menjadi F'(X) = X - 1. Mungkin terlihat sedikit rumit, tapi langkah-langkah ini penting untuk memastikan kita mendapatkan hasil dilatasi yang benar. Dilatasi dengan pusat selain titik asal memang membutuhkan perhatian lebih, tapi dengan memecahnya menjadi langkah-langkah translasi dan dilatasi sederhana, kita bisa menyelesaikannya dengan mudah. Konsep ini sangat berguna dalam geometri transformasi dan memiliki aplikasi dalam desain grafis, arsitektur, dan bidang-bidang lain yang melibatkan perubahan skala dan posisi objek.

Semoga penjelasan ini membantu kalian memahami konsep dilatasi fungsi, guys! Jangan ragu untuk mencoba soal-soal lain untuk mengasah kemampuan kalian. Kalau ada pertanyaan, jangan sungkan untuk bertanya ya! Semangat terus belajarnya!