Memecahkan Deret Aritmetika: Panduan Lengkap & Mudah

Guys, mari kita selami dunia deret aritmetika! Soal yang kita hadapi ini seru banget, tentang deret aritmetika yang jumlah 4 suku pertamanya 36 dan jumlah 6 suku pertamanya 78. Kita akan bongkar tuntas soal ini, mulai dari menyusun sistem persamaan, mencari nilai-nilai penting, hingga menentukan jumlah 25 suku pertama. Jangan khawatir, kita akan bahas dengan bahasa yang mudah dipahami, jadi siapapun bisa ikut! Yuk, mulai petualangan matematika kita!

A. Menyusun Sistem Persamaan: Kunci Pembuka

Pertama-tama, mari kita susun sistem persamaan. Kita tahu bahwa deret aritmetika punya pola tertentu. Kita punya informasi penting: Jumlah 4 suku pertama adalah 36, dan jumlah 6 suku pertama adalah 78. Untuk memulai, kita perlu tahu dulu apa itu deret aritmetika. Singkatnya, deret aritmetika adalah urutan angka di mana selisih antara suku-suku yang berurutan selalu sama. Selisih ini disebut beda, yang seringkali dilambangkan dengan 'b'. Suku pertama biasanya dilambangkan dengan 'a'.

Rumus jumlah n suku pertama (Sn) dari deret aritmetika adalah:

Sn = n/2 * (2a + (n-1)b)

Dengan menggunakan rumus ini, kita bisa membuat dua persamaan berdasarkan informasi yang kita punya:

1. Jumlah 4 suku pertama (S4 = 36): 36 = 4/2 * (2a + (4-1)b) 36 = 2 * (2a + 3b) 36 = 4a + 6b (Persamaan 1)

2. Jumlah 6 suku pertama (S6 = 78): 78 = 6/2 * (2a + (6-1)b) 78 = 3 * (2a + 5b) 78 = 6a + 15b (Persamaan 2)

Nah, sekarang kita punya dua persamaan dengan dua variabel (a dan b). Ini adalah sistem persamaan linear yang bisa kita selesaikan. Tujuan kita sekarang adalah untuk menemukan nilai 'a' dan 'b'. Kita bisa menggunakan beberapa metode, seperti metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan metode eliminasi untuk menyelesaikannya. Metode eliminasi melibatkan menghilangkan salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan persamaan-persamaan yang ada. Kita akan mencoba mengeliminasi variabel 'a' terlebih dahulu.

Untuk mengeliminasi 'a', kita bisa mengalikan Persamaan 1 dengan 3 dan Persamaan 2 dengan 2, sehingga koefisien 'a' menjadi sama.

• Persamaan 1 x 3: 108 = 12a + 18b
• Persamaan 2 x 2: 156 = 12a + 30b

Kemudian, kurangkan persamaan yang baru (Persamaan 2 yang sudah dikalikan) dengan Persamaan 1 yang sudah dikalikan:

(156 - 108) = (12a - 12a) + (30b - 18b) 48 = 12b b = 4

Yesss! Kita sudah menemukan nilai 'b', yaitu 4. Sekarang, kita bisa substitusikan nilai 'b' ini ke salah satu persamaan awal untuk menemukan nilai 'a'. Mari kita gunakan Persamaan 1:

36 = 4a + 6(4) 36 = 4a + 24 4a = 12 a = 3

Mantap! Kita sudah berhasil menemukan nilai 'a' = 3 dan 'b' = 4. Ini adalah langkah awal yang sangat penting untuk menyelesaikan soal ini. Kita sekarang tahu suku pertama deret aritmetika adalah 3, dan beda setiap sukunya adalah 4. Dengan informasi ini, kita bisa melanjutkan ke langkah berikutnya.

B. Menentukan Nilai a dan b: Rahasia Terungkap

Setelah berhasil menyusun sistem persamaan dan menyelesaikan untuk mendapatkan nilai 'a' dan 'b', mari kita perjelas lagi apa yang sudah kita dapatkan. Seperti yang sudah kita hitung sebelumnya, nilai:

• a = 3 (Suku pertama)
• b = 4 (Beda)

Artinya, deret aritmetika yang kita hadapi dimulai dengan angka 3, dan setiap suku berikutnya bertambah 4. Jadi, beberapa suku pertama dari deret ini adalah: 3, 7, 11, 15, 19, 23, dan seterusnya. Jumlah 4 suku pertama (3 + 7 + 11 + 15) memang benar 36, dan jumlah 6 suku pertama (3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23) memang benar 78. Ini adalah konfirmasi bahwa perhitungan kita sudah benar.

Nilai 'a' dan 'b' ini adalah fondasi penting untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan selanjutnya. Dengan mengetahui 'a' dan 'b', kita bisa menghitung suku ke-n, jumlah n suku pertama, atau informasi lainnya yang terkait dengan deret aritmetika ini. Misalnya, kita bisa mencari suku ke-100, atau jumlah 50 suku pertama. Semuanya bisa kita hitung dengan mudah.

Jadi, intinya, nilai 'a' dan 'b' adalah kunci untuk memahami dan menganalisis deret aritmetika. Dengan mengetahui kedua nilai ini, kita bisa membuka semua rahasia yang tersembunyi dalam deret tersebut. Ini seperti memiliki peta harta karun yang menunjukkan semua kekayaan yang ada.

C. Menentukan Jumlah 25 Suku Pertama: Menuju Puncak

Oke, sekarang kita akan menentukan jumlah 25 suku pertama dari deret aritmetika ini. Kita sudah punya semua yang kita butuhkan: nilai 'a' = 3, nilai 'b' = 4, dan sekarang kita akan mencari S25.

Kita gunakan lagi rumus jumlah n suku pertama:

Sn = n/2 * (2a + (n-1)b)

Untuk mencari S25, kita substitusikan n = 25, a = 3, dan b = 4 ke dalam rumus:

S25 = 25/2 * (2(3) + (25-1)4) S25 = 25/2 * (6 + (24)4) S25 = 25/2 * (6 + 96) S25 = 25/2 * 102 S25 = 25 * 51 S25 = 1275

Wow! Jumlah 25 suku pertama dari deret aritmetika ini adalah 1275. Ini berarti jika kita menjumlahkan 25 suku pertama (yaitu: 3, 7, 11, 15, ..., dan seterusnya), hasilnya adalah 1275. Ini adalah jawaban akhir dari soal kita.

Kesimpulannya, dengan menggunakan rumus yang tepat dan langkah-langkah yang terstruktur, kita berhasil menyelesaikan soal deret aritmetika ini. Kita mulai dengan menyusun sistem persamaan, menemukan nilai 'a' dan 'b', dan akhirnya menghitung jumlah 25 suku pertama. Keren kan?

Kesimpulan: Merangkum Perjalanan Kita

Guys, kita sudah berhasil menyelesaikan soal deret aritmetika ini dengan sangat baik. Kita telah melalui semua langkah, mulai dari memahami konsep dasar, menyusun sistem persamaan, mencari nilai-nilai penting, hingga akhirnya menemukan jawaban akhir. Selamat!

Penting untuk diingat bahwa deret aritmetika adalah konsep dasar dalam matematika yang sangat berguna. Pemahaman yang baik tentang deret aritmetika akan sangat membantu dalam memecahkan berbagai soal matematika lainnya. Jangan ragu untuk terus berlatih dan mencoba soal-soal lain untuk meningkatkan kemampuanmu.

Berikut adalah poin-poin penting yang perlu diingat:

• Rumus Jumlah Suku: Pastikan kamu hafal rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika: Sn = n/2 * (2a + (n-1)b)
• Nilai a dan b: Selalu ingat bahwa 'a' adalah suku pertama dan 'b' adalah beda. Kedua nilai ini adalah kunci untuk memecahkan soal deret aritmetika.
• Latihan: Semakin sering kamu berlatih, semakin mudah kamu memahami konsep deret aritmetika. Coba kerjakan soal-soal latihan yang berbeda untuk menguji kemampuanmu.

Terakhir, jangan takut untuk bertanya jika ada yang kurang jelas. Matematika adalah ilmu yang menyenangkan, dan dengan sedikit usaha, kita semua bisa menguasainya. Semangat terus!