Peluang Dadu & Koin: Hitung & Tentukan Kebebasan Kejadian

by ADMIN 58 views

Hey guys! Kali ini kita akan membahas soal peluang yang melibatkan pelemparan dadu dan koin, serta pengambilan bola dari sebuah kotak. Soal ini sering banget muncul dalam materi peluang di matematika, jadi yuk kita bedah satu per satu biar makin paham!

1. Peluang Pelemparan Dadu dan Koin

Dalam soal ini, kita punya dua kejadian:

  • Kejadian A: Muncul angka genap pada dadu.
  • Kejadian B: Muncul gambar pada koin.

Pertanyaannya, bagaimana cara menghitung peluang kedua kejadian ini dan menentukan apakah keduanya saling bebas atau tidak? Yuk, kita bahas!

Menghitung Peluang Kejadian A (Muncul Angka Genap pada Dadu)

Dadu standar memiliki 6 sisi, dengan angka 1 sampai 6. Angka genap pada dadu adalah 2, 4, dan 6. Jadi, ada 3 kemungkinan muncul angka genap dari 6 kemungkinan hasil pelemparan dadu. Dengan kata lain, peluang muncul angka genap (P(A)) adalah:

P(A) = Jumlah kejadian yang diinginkan / Jumlah seluruh kejadian
P(A) = 3 / 6
P(A) = 1/2

Jadi, peluang muncul angka genap pada pelemparan dadu adalah 1/2 atau 50%. Angka ini menunjukkan bahwa ada kemungkinan yang sama besar antara muncul angka genap dan angka ganjil.

Menghitung Peluang Kejadian B (Muncul Gambar pada Koin)

Sebuah koin memiliki dua sisi: gambar dan angka. Jadi, ada 1 kemungkinan muncul gambar dari 2 kemungkinan hasil pelemparan koin. Maka, peluang muncul gambar (P(B)) adalah:

P(B) = Jumlah kejadian yang diinginkan / Jumlah seluruh kejadian
P(B) = 1 / 2
P(B) = 1/2

Sama seperti dadu, peluang muncul gambar pada pelemparan koin juga 1/2 atau 50%. Ini berarti kemungkinan muncul gambar dan angka sama besarnya.

Menentukan Apakah Kejadian A dan B Saling Bebas

Dalam teori peluang, dua kejadian dikatakan saling bebas jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain. Dalam kasus ini, apakah munculnya angka genap pada dadu mempengaruhi munculnya gambar pada koin? Tentu saja tidak! Pelemparan dadu dan koin adalah dua peristiwa yang tidak berkaitan.

Untuk membuktikan secara matematis, kita perlu memeriksa apakah peluang kedua kejadian terjadi bersamaan sama dengan perkalian peluang masing-masing kejadian. Jadi, kita perlu menghitung P(A dan B), yaitu peluang muncul angka genap pada dadu dan gambar pada koin.

Karena kejadian A dan B saling bebas, maka:

P(A dan B) = P(A) * P(B)
P(A dan B) = (1/2) * (1/2)
P(A dan B) = 1/4

P(A dan B) = 1/4 berarti ada 1 kemungkinan dari 4 kemungkinan hasil pelemparan dadu dan koin yang akan menghasilkan angka genap pada dadu dan gambar pada koin. Keempat kemungkinan itu adalah: (Angka Ganjil, Angka), (Angka Ganjil, Gambar), (Angka Genap, Angka), dan (Angka Genap, Gambar).

Karena hasil perhitungan ini sesuai dengan definisi kejadian saling bebas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa kejadian A dan B saling bebas.

2. Peluang Pengambilan Bola dari Kotak

Selanjutnya, kita akan membahas soal tentang pengambilan bola dari sebuah kotak. Dalam kotak tersebut, terdapat:

  • 3 bola merah
  • 2 bola putih

Kita akan mengambil dua bola secara acak dari kotak tersebut. Pertanyaannya, bagaimana cara menghitung peluang mendapatkan kombinasi bola tertentu?

Memahami Konsep Kombinasi dalam Peluang

Sebelum kita menghitung peluangnya, penting untuk memahami konsep kombinasi. Dalam matematika, kombinasi adalah cara memilih sejumlah objek dari sekelompok objek tanpa memperhatikan urutan. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Dimana:

  • n adalah jumlah total objek
  • k adalah jumlah objek yang dipilih
  • ! adalah simbol faktorial (misalnya, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Dalam kasus pengambilan bola ini, kita akan menggunakan konsep kombinasi karena urutan pengambilan bola tidak penting. Misalnya, mengambil bola merah lalu bola putih sama saja dengan mengambil bola putih lalu bola merah.

Menghitung Peluang Mendapatkan Kombinasi Bola Tertentu

Untuk menghitung peluang mendapatkan kombinasi bola tertentu, kita perlu mengetahui:

  1. Jumlah total cara memilih 2 bola dari 5 bola (tanpa memperhatikan warna).
  2. Jumlah cara memilih kombinasi bola yang diinginkan (misalnya, 2 bola merah, 1 merah dan 1 putih, atau 2 bola putih).

1. Jumlah Total Cara Memilih 2 Bola dari 5 Bola

Kita dapat menggunakan rumus kombinasi untuk menghitung ini:

C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!)
C(5, 2) = 5! / (2! * 3!)
C(5, 2) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (3 * 2 * 1))
C(5, 2) = 120 / (2 * 6)
C(5, 2) = 120 / 12
C(5, 2) = 10

Jadi, ada 10 cara berbeda untuk memilih 2 bola dari 5 bola.

2. Jumlah Cara Memilih Kombinasi Bola yang Diinginkan

Sekarang, mari kita hitung beberapa contoh peluang mendapatkan kombinasi bola tertentu:

a. Peluang Mendapatkan 2 Bola Merah

Untuk mendapatkan 2 bola merah, kita perlu memilih 2 bola dari 3 bola merah yang tersedia. Menggunakan rumus kombinasi:

C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!)
C(3, 2) = 3! / (2! * 1!)
C(3, 2) = (3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * 1)
C(3, 2) = 6 / 2
C(3, 2) = 3

Jadi, ada 3 cara untuk memilih 2 bola merah. Peluang mendapatkan 2 bola merah adalah:

P(2 Merah) = Jumlah cara memilih 2 bola merah / Jumlah total cara memilih 2 bola
P(2 Merah) = 3 / 10
b. Peluang Mendapatkan 1 Bola Merah dan 1 Bola Putih

Untuk mendapatkan 1 bola merah dan 1 bola putih, kita perlu:

  • Memilih 1 bola dari 3 bola merah: C(3, 1) = 3 cara
  • Memilih 1 bola dari 2 bola putih: C(2, 1) = 2 cara

Jumlah cara memilih 1 bola merah dan 1 bola putih adalah perkalian kedua hasil ini:

Jumlah cara = C(3, 1) * C(2, 1)
Jumlah cara = 3 * 2
Jumlah cara = 6

Jadi, ada 6 cara untuk memilih 1 bola merah dan 1 bola putih. Peluang mendapatkan 1 bola merah dan 1 bola putih adalah:

P(1 Merah, 1 Putih) = Jumlah cara memilih 1 merah dan 1 putih / Jumlah total cara memilih 2 bola
P(1 Merah, 1 Putih) = 6 / 10
P(1 Merah, 1 Putih) = 3/5
c. Peluang Mendapatkan 2 Bola Putih

Untuk mendapatkan 2 bola putih, kita perlu memilih 2 bola dari 2 bola putih yang tersedia. Menggunakan rumus kombinasi:

C(2, 2) = 2! / (2! * (2-2)!)
C(2, 2) = 2! / (2! * 0!)
C(2, 2) = (2 * 1) / ((2 * 1) * 1)
C(2, 2) = 2 / 2
C(2, 2) = 1

Jadi, hanya ada 1 cara untuk memilih 2 bola putih. Peluang mendapatkan 2 bola putih adalah:

P(2 Putih) = Jumlah cara memilih 2 bola putih / Jumlah total cara memilih 2 bola
P(2 Putih) = 1 / 10

Ringkasan Peluang Pengambilan Bola

Berikut adalah ringkasan peluang mendapatkan berbagai kombinasi bola:

  • P(2 Bola Merah) = 3/10
  • P(1 Bola Merah, 1 Bola Putih) = 3/5
  • P(2 Bola Putih) = 1/10

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas dua soal peluang yang berbeda. Pertama, kita menghitung peluang munculnya angka genap pada dadu dan gambar pada koin, serta menentukan bahwa kedua kejadian tersebut saling bebas. Kedua, kita menghitung peluang mendapatkan berbagai kombinasi bola saat mengambil dua bola dari sebuah kotak. Semoga penjelasan ini membantu kalian memahami konsep peluang dengan lebih baik, guys! Jangan ragu untuk latihan soal-soal lain ya, biar makin jago!