Raízes Da Função Quadrática: Resolvendo X² - 3x + 2

E aí, pessoal! Hoje vamos mergulhar no mundo das funções quadráticas, especificamente na função F(X) = x² - 3x + 2. Nosso objetivo é descobrir as raízes dessa função, entender se a parábola que ela representa abre para cima ou para baixo, e, claro, escolher a resposta correta entre as opções fornecidas. Parece complicado? Relaxa, que vamos descomplicar tudo juntos!

Entendendo a Função Quadrática e Suas Raízes

Primeiramente, o que é uma função quadrática? Em termos simples, é uma função que pode ser escrita na forma geral f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais, e a é diferente de zero. No nosso caso, temos f(x) = x² - 3x + 2. Podemos identificar que a = 1, b = -3 e c = 2. As raízes de uma função quadrática são os valores de x para os quais f(x) = 0. Em outras palavras, são os pontos onde a parábola cruza o eixo x. Encontrar as raízes é essencial para entender o comportamento da função e onde ela toca ou corta o eixo horizontal do gráfico. Existem várias maneiras de encontrar as raízes de uma função quadrática. A mais comum é utilizando a fórmula de Bhaskara, mas em alguns casos, podemos fatorar a equação para simplificar o processo. Além disso, as raízes nos dizem muito sobre a forma da parábola, incluindo sua posição em relação aos eixos coordenados e a direção em que ela se abre. Para visualizar, imagine uma parábola: as raízes são os pontos onde essa curva encontra o chão (eixo x). Se a parábola tem duas raízes reais distintas, ela intersecta o eixo x em dois pontos. Se tiver apenas uma raiz (ou duas raízes iguais), ela toca o eixo x em um único ponto. Se não tiver raízes reais, a parábola não toca o eixo x, flutuando acima ou abaixo dele. Dominar a identificação das raízes é crucial para resolver problemas de otimização, modelagem de fenômenos físicos e compreensão de muitos conceitos matemáticos.

Calculando as Raízes da Função F(X) = x² - 3x + 2

Agora, vamos ao cálculo das raízes da nossa função. Existem duas formas principais de fazer isso: a fórmula de Bhaskara e a fatoração. Vamos explorar ambas para garantir que entendemos bem o processo.

Usando a Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é um método infalível para encontrar as raízes de qualquer função quadrática. Ela é dada por:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

No nosso caso, a = 1, b = -3 e c = 2. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

x = ( -(-3) ± √((-3)² - 4 * 1 * 2)) / (2 * 1)

x = (3 ± √(9 - 8)) / 2

x = (3 ± √1) / 2

Agora, calculamos as duas possíveis raízes:

x₁ = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2

x₂ = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1

Portanto, as raízes da função são x = 1 e x = 2.

Usando a Fatoração

A fatoração é uma técnica que pode ser mais rápida, mas nem sempre é aplicável. No entanto, para esta função específica, podemos fatorá-la. Buscamos dois números que, somados, resultem em -3 (o valor de b) e, multiplicados, resultem em 2 (o valor de c). Esses números são -1 e -2. Assim, podemos reescrever a função como:

(x - 1)(x - 2) = 0

Para que o produto de dois termos seja zero, pelo menos um deles deve ser zero. Então:

x - 1 = 0 => x = 1

x - 2 = 0 => x = 2

Novamente, confirmamos que as raízes são x = 1 e x = 2. A fatoração é uma ótima ferramenta quando aplicável, pois simplifica o processo e nos dá uma visão mais direta das raízes. Ela nos mostra como a função se decompõe em termos mais simples, revelando a sua estrutura subjacente e a relação entre as suas raízes e os seus fatores. Além disso, a fatoração nos ajuda a entender a função em um nível mais profundo, permitindo-nos visualizar o comportamento da parábola de forma mais clara e intuitiva. É sempre uma boa ideia tentar a fatoração primeiro, pois pode economizar tempo e esforço, especialmente em problemas mais simples.

Determinando a Concavidade da Parábola

A concavidade da parábola se refere à direção em que ela se abre. Ela pode abrir para cima ou para baixo. A direção é determinada pelo valor de a na função quadrática f(x) = ax² + bx + c.

• Se a > 0, a parábola abre para cima. Neste caso, a parábola tem um ponto de mínimo (a parte de baixo da curva).
• Se a < 0, a parábola abre para baixo. Neste caso, a parábola tem um ponto de máximo (a parte de cima da curva).

No nosso caso, a = 1, que é maior que 0. Portanto, a parábola abre para cima. Saber a concavidade é crucial, pois nos ajuda a entender o comportamento geral da função. Uma parábola que abre para cima tem um valor mínimo, enquanto uma parábola que abre para baixo tem um valor máximo. Essa informação é essencial em problemas de otimização, onde buscamos encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função. Além disso, a concavidade afeta a forma como a parábola se relaciona com o eixo x e com outras funções. Compreender a concavidade nos dá uma visão mais completa da função quadrática e de suas propriedades.

Escolhendo as Raízes Corretas

Com base nos nossos cálculos, as raízes da função F(X) = x² - 3x + 2 são x = 1 e x = 2. A parábola abre para cima. Agora, vamos analisar as alternativas:

A) 1 e 2 B) 0 e 3 C) -1 e -2 D) 2 e 3

A resposta correta é a alternativa A) 1 e 2. As outras alternativas apresentam valores incorretos para as raízes da função.

Dicas Extras

• Pratique: A melhor forma de dominar funções quadráticas é praticar. Resolva muitos exercícios e problemas diferentes.
• Visualize: Use gráficos para entender como as raízes e a concavidade afetam a forma da parábola.
• Revise: Certifique-se de entender os conceitos básicos antes de avançar para tópicos mais complexos.
• Use recursos online: Existem muitos tutoriais, vídeos e calculadoras online que podem te ajudar a entender melhor o assunto.

Conclusão

E aí, pessoal! Espero que este guia tenha sido útil para vocês. Dominar funções quadráticas é fundamental para muitos conceitos matemáticos. Com um pouco de prática e dedicação, vocês estarão resolvendo problemas como este em pouco tempo. Se tiverem alguma dúvida, deixem nos comentários! Até a próxima!