Resolución De Sistemas De Ecuaciones: Cálculo De 'x'

¡Hola a todos los amantes de las matemáticas! Hoy nos sumergiremos en el fascinante mundo de los sistemas de ecuaciones. Vamos a analizar un sistema específico y, lo más importante, ¡vamos a calcular el valor de 'x'! Este tipo de problemas son fundamentales en álgebra y son la base para resolver problemas más complejos en matemáticas y ciencias. Así que, prepárense para afilar sus lápices y ¡a darle caña! El sistema que vamos a resolver es el siguiente:

$$\begin{cases} 3\sqrt{x} - 2y = 5 & \dots(I) \\ 5\sqrt{x} + 4y = 3 & \dots(II) \end{cases}$$

Como pueden observar, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas: ${\sqrt{x}}$ y ${y}$. La presencia de la raíz cuadrada de 'x' puede parecer un poco intimidante al principio, pero no se preocupen, ¡lo desglosaremos paso a paso! El objetivo principal es encontrar el valor de 'x' que satisface ambas ecuaciones simultáneamente. Para lograr esto, utilizaremos un método común en la resolución de sistemas de ecuaciones: el método de eliminación. Este método consiste en manipular las ecuaciones de tal manera que, al sumarlas o restarlas, eliminemos una de las incógnitas, en este caso, la variable 'y', y podamos resolver para la otra variable, que es ${\sqrt{x}}$. Una vez que encontremos el valor de ${\sqrt{x}}$, podremos elevarlo al cuadrado para obtener el valor de 'x'. Vamos a ello!

Paso 1: Preparación para la Eliminación

El primer paso para resolver este sistema de ecuaciones es preparar las ecuaciones para poder eliminar una de las variables. En este caso, queremos eliminar 'y'. Observen que en la ecuación (I), tenemos -2y, y en la ecuación (II), tenemos 4y. Para que podamos eliminar 'y', necesitamos que los coeficientes de 'y' sean iguales en magnitud pero de signo contrario. Podemos lograr esto multiplicando la ecuación (I) por 2. Esto cambiará la ecuación (I) a:

$$2 * (3\sqrt{x} - 2y) = 2 * 5$$

$$6\sqrt{x} - 4y = 10 \quad \dots(I')$$

Ahora, tenemos -4y en la ecuación (I') y +4y en la ecuación (II). ¡Perfecto! Ya estamos listos para el siguiente paso, que es la eliminación.

Es crucial comprender este paso inicial, ya que la elección del factor multiplicativo es clave para la eficiencia del proceso. En este caso, elegimos multiplicar la primera ecuación por 2 porque nos permitió igualar los coeficientes de 'y' en magnitud y tener signos opuestos. Si hubiéramos elegido otro factor, el proceso podría haber sido más complicado o requerir más pasos. La práctica con diferentes sistemas de ecuaciones les ayudará a desarrollar su intuición para elegir el factor multiplicativo más adecuado. Recuerden que el objetivo es simplificar el sistema y llegar a una solución de manera eficiente. Así que, mantengan la mente abierta, prueben diferentes enfoques y no teman cometer errores, ya que son oportunidades para aprender y mejorar.

Paso 2: Eliminación de 'y'

Ahora que hemos preparado las ecuaciones, estamos listos para eliminar 'y'. Para hacer esto, sumaremos la ecuación (I') y la ecuación (II):

$$(6\sqrt{x} - 4y) + (5\sqrt{x} + 4y) = 10 + 3$$

Al sumar las ecuaciones, observamos que los términos -4y y +4y se cancelan, ¡exactamente lo que queríamos! Esto nos deja con:

$$6\sqrt{x} + 5\sqrt{x} = 13$$

$$11\sqrt{x} = 13$$

¡Genial! Hemos reducido el sistema a una sola ecuación con una sola incógnita: ${\sqrt{x}}$. Ahora, es mucho más fácil resolver para ${\sqrt{x}}$.

Este paso de eliminación es el corazón del método. Al eliminar una variable, transformamos un sistema de dos ecuaciones en una sola ecuación que podemos resolver directamente. La clave está en manipular las ecuaciones de manera que, al sumarlas o restarlas, los términos de una de las variables se cancelen. La elección de qué variable eliminar y cómo manipular las ecuaciones depende de los coeficientes de las variables en las ecuaciones originales. En este caso, la preparación que hicimos en el paso anterior, multiplicando la primera ecuación por 2, fue crucial para facilitar la eliminación de 'y'. La correcta aplicación de este método les permitirá resolver una amplia gama de sistemas de ecuaciones.

Paso 3: Resolución para ${\sqrt{x}}$

Ahora, vamos a resolver para ${\sqrt{x}}$. De la ecuación anterior, tenemos:

$$11\sqrt{x} = 13$$

Para despejar ${\sqrt{x}}$, simplemente dividimos ambos lados de la ecuación por 11:

$$\sqrt{x} = \frac{13}{11}$$

¡Ya casi llegamos! Hemos encontrado el valor de ${\sqrt{x}}$. Ahora, solo nos falta encontrar el valor de 'x'.

Es importante recordar que la raíz cuadrada de un número siempre es positiva. Sin embargo, en algunos casos, al resolver ecuaciones con raíces cuadradas, podemos obtener soluciones extrañas que no satisfacen la ecuación original. Por eso, es fundamental verificar la solución final en las ecuaciones originales para asegurarnos de que es válida. En este caso, la solución que obtuvimos para ${\sqrt{x}}$ es positiva, lo cual es consistente con la definición de la raíz cuadrada. En el siguiente paso, calcularemos el valor de 'x' y verificaremos si la solución obtenida es válida.

Paso 4: Cálculo de 'x' y Verificación

Para encontrar el valor de 'x', necesitamos deshacernos de la raíz cuadrada. Para hacer esto, elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado:

$$\left(\sqrt{x}\right)^2 = \left(\frac{13}{11}\right)^2$$

$$x = \frac{169}{121}$$

¡Felicidades! Hemos calculado el valor de 'x'. Ahora, para estar seguros de que nuestra solución es correcta, vamos a verificarla sustituyendo el valor de 'x' en las ecuaciones originales (I) y (II). Sustituyendo ${x = \frac{169}{121}}$ en la ecuación (I):

$$3\sqrt{\frac{169}{121}} - 2y = 5$$

$$3 * \frac{13}{11} - 2y = 5$$

$$\frac{39}{11} - 2y = 5$$

$$2y = \frac{39}{11} - 5$$

$$2y = \frac{39 - 55}{11}$$

$$2y = \frac{-16}{11}$$

$$y = \frac{-8}{11}$$

Ahora, sustituyendo ${x = \frac{169}{121}}$ en la ecuación (II):

$$5\sqrt{\frac{169}{121}} + 4y = 3$$

$$5 * \frac{13}{11} + 4y = 3$$

$$\frac{65}{11} + 4y = 3$$

$$4y = 3 - \frac{65}{11}$$

$$4y = \frac{33 - 65}{11}$$

$$4y = \frac{-32}{11}$$

$$y = \frac{-8}{11}$$

Como pueden ver, al sustituir el valor de 'x' en ambas ecuaciones, obtenemos el mismo valor para 'y': ${y = \frac{-8}{11}}$. Esto confirma que nuestra solución es correcta. Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es:

$$x = \frac{169}{121}, \quad y = \frac{-8}{11}$$

El proceso de verificación es esencial para asegurar la validez de nuestra solución. Aunque hayamos seguido todos los pasos correctamente, es posible que hayamos cometido un error en algún cálculo. Al verificar la solución, podemos identificar cualquier error y corregirlo. En este caso, al sustituir los valores de 'x' e 'y' en ambas ecuaciones originales, confirmamos que ambas ecuaciones se cumplen. Esto nos da la certeza de que hemos encontrado la solución correcta al sistema de ecuaciones. La verificación no solo nos asegura la exactitud de la solución, sino que también nos ayuda a comprender mejor el problema y a fortalecer nuestra confianza en nuestras habilidades matemáticas. Así que, siempre recuerden verificar sus soluciones, ¡es una práctica fundamental!

Conclusión

¡Y eso es todo, amigos! Hemos resuelto un sistema de ecuaciones que involucraba raíces cuadradas, utilizando el método de eliminación. Hemos calculado el valor de 'x' y hemos verificado nuestra solución. Espero que este tutorial les haya sido útil y que hayan disfrutado del proceso. Recuerden que la práctica hace al maestro. Cuanto más practiquen la resolución de sistemas de ecuaciones, más fácil les resultará. No duden en experimentar con diferentes tipos de sistemas y métodos, y ¡sigan explorando el maravilloso mundo de las matemáticas! ¡Hasta la próxima!

En resumen, hemos aprendido a:

• Identificar un sistema de ecuaciones.
• Preparar las ecuaciones para la eliminación.
• Eliminar una variable.
• Resolver para la variable restante.
• Calcular el valor de 'x'.
• Verificar la solución.

Este conocimiento es valioso para resolver problemas en diversos campos, desde la física y la ingeniería hasta la economía y la informática. ¡Así que, sigan aprendiendo y divirtiéndose con las matemáticas!