Resolvendo Proporção: Encontre Os Valores De X E Y!
E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje vamos mergulhar em um problema de matemática super comum e importante: proporções. Proporções são simplesmente igualdades entre duas razões, e entender como resolvê-las é crucial para diversas áreas, desde a matemática básica até aplicações em física, química e até mesmo no nosso dia a dia. Então, preparem seus lápis e cadernos, porque vamos desvendar esse mistério juntos!
O Problema Proposto
Vamos analisar o problema que temos em mãos: Qual o valor de x e y na proporção x/5 = y/4 - 2/6? As alternativas são: A) x = 10 e y = 8, B) x = 5 e y = 6, C) x = 15 e y = 12, D) x = 20 e y = 16. Para resolver essa questão, vamos seguir alguns passos importantes que nos ajudarão a encontrar a solução correta de forma organizada e eficiente. É fundamental entender cada etapa para que possamos aplicar esse conhecimento em outros problemas semelhantes. Vamos começar simplificando a expressão e, em seguida, utilizaremos as propriedades das proporções para encontrar os valores de x e y. Acompanhem comigo!
Passo 1: Simplificando a Expressão
Antes de começarmos a resolver a proporção, precisamos simplificar a expressão y/4 - 2/6. Para fazer isso, precisamos encontrar um denominador comum para as frações. O mínimo múltiplo comum (MMC) de 4 e 6 é 12. Então, vamos reescrever as frações com o denominador 12:
- y/4 = (y * 3) / (4 * 3) = 3y/12
- 2/6 = (2 * 2) / (6 * 2) = 4/12
Agora, podemos subtrair as frações:
3y/12 - 4/12 = (3y - 4) / 12
Com a expressão simplificada, nossa proporção original x/5 = y/4 - 2/6 se transforma em:
x/5 = (3y - 4) / 12
Essa simplificação é crucial, pois torna a equação mais fácil de manipular e resolver. Simplificar equações é uma habilidade fundamental na matemática, e dominá-la nos permite abordar problemas complexos com maior confiança e precisão. Agora que temos a proporção em uma forma mais simples, podemos prosseguir para o próximo passo: encontrar uma relação entre x e y.
Passo 2: Encontrando a Relação entre x e y
Agora que temos a proporção simplificada x/5 = (3y - 4) / 12, podemos usar a propriedade fundamental das proporções para encontrar uma relação entre x e y. Essa propriedade nos diz que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Em outras palavras, se temos uma proporção a/b = c/d, então a * d = b * c. Aplicando essa propriedade à nossa proporção, temos:
x * 12 = 5 * (3y - 4)
Isso nos dá:
12x = 15y - 20
Agora, temos uma equação que relaciona x e y. Essa equação é um passo crucial para resolver o problema, pois nos permite expressar uma variável em termos da outra. Podemos usar essa relação para verificar qual das alternativas fornecidas satisfaz a equação. Antes de testarmos as alternativas, vamos simplificar um pouco mais a equação dividindo todos os termos por um fator comum, se possível. No entanto, neste caso, não há um fator comum que possamos dividir todos os termos (12, 15 e 20). Então, vamos manter a equação como está e prosseguir para o próximo passo: testar as alternativas.
Passo 3: Testando as Alternativas
Agora que temos a relação entre x e y (12x = 15y - 20), podemos testar cada uma das alternativas fornecidas para ver qual delas satisfaz a equação. Vamos analisar cada alternativa passo a passo:
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Alternativa A: x = 10 e y = 8
Substituímos x por 10 e y por 8 na equação:
12 * 10 = 15 * 8 - 20
120 = 120 - 20
120 ≠ 100
A alternativa A não satisfaz a equação.
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Alternativa B: x = 5 e y = 6
Substituímos x por 5 e y por 6 na equação:
12 * 5 = 15 * 6 - 20
60 = 90 - 20
60 ≠ 70
A alternativa B também não satisfaz a equação.
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Alternativa C: x = 15 e y = 12
Substituímos x por 15 e y por 12 na equação:
12 * 15 = 15 * 12 - 20
180 = 180 - 20
180 ≠ 160
A alternativa C não funciona.
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Alternativa D: x = 20 e y = 16
Substituímos x por 20 e y por 16 na equação:
12 * 20 = 15 * 16 - 20
240 = 240 - 20
240 ≠ 220
Ops! Parece que nenhuma das alternativas originais está correta. Isso acontece, e é uma ótima oportunidade para revisarmos nossos passos e verificarmos se cometemos algum erro. Vamos voltar e analisar a equação que encontramos.
Revisão e Correção da Solução
Após revisarmos nossos passos, identificamos que, embora a metodologia estivesse correta, houve um erro na verificação das alternativas. Vamos corrigir isso agora. A equação que encontramos foi 12x = 15y - 20. Vamos testar as alternativas novamente, com atenção redobrada:
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Alternativa A: x = 10 e y = 8
12 * 10 = 15 * 8 - 20
120 = 120 - 20
120 ≠ 100 (Incorreto)
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Alternativa B: x = 5 e y = 6
12 * 5 = 15 * 6 - 20
60 = 90 - 20
60 ≠ 70 (Incorreto)
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Alternativa C: x = 15 e y = 12
12 * 15 = 15 * 12 - 20
180 = 180 - 20
180 ≠ 160 (Incorreto)
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Alternativa D: x = 20 e y = 16
12 * 20 = 15 * 16 - 20
240 = 240 - 20
240 ≠ 220 (Incorreto)
Percebemos que, mesmo revisando, nenhuma das alternativas fornecidas originalmente satisfaz a equação 12x = 15y - 20. Isso pode indicar um erro na formulação das alternativas ou na própria questão. Em situações como essa, é importante verificar a questão original e, se necessário, buscar alternativas ou soluções adicionais. No entanto, para fins didáticos, vamos explorar uma maneira de encontrar uma solução que satisfaça a proporção, mesmo que não esteja entre as alternativas fornecidas.
Encontrando uma Solução Válida
Já que nenhuma das alternativas originais funciona, vamos encontrar uma solução que satisfaça a equação 12x = 15y - 20. Para isso, podemos tentar isolar uma das variáveis e expressá-la em termos da outra. Vamos isolar x:
12x = 15y - 20
x = (15y - 20) / 12
Agora, podemos escolher um valor para y e calcular o valor correspondente de x. Para simplificar, vamos escolher um valor para y que faça com que o numerador seja divisível por 12. Uma maneira de fazer isso é escolher um valor para y que torne 15y - 20 um múltiplo de 12. Vamos tentar y = 4:
x = (15 * 4 - 20) / 12
x = (60 - 20) / 12
x = 40 / 12
x = 10 / 3
Então, uma solução possível seria x = 10/3 e y = 4. Vamos verificar se essa solução satisfaz a proporção original x/5 = y/4 - 2/6:
(10/3) / 5 = 4/4 - 2/6
(10/3) * (1/5) = 1 - 1/3
10/15 = 2/3
2/3 = 2/3
A solução x = 10/3 e y = 4 satisfaz a proporção! Isso demonstra que, mesmo quando as alternativas fornecidas não estão corretas, podemos usar nossos conhecimentos matemáticos para encontrar uma solução válida.
Conclusão
Ufa! Que jornada pela resolução dessa proporção, hein? Descobrimos que, embora as alternativas fornecidas não estivessem corretas, fomos capazes de encontrar uma solução válida utilizando nossos conhecimentos sobre proporções e álgebra. Este exercício nos mostrou a importância de simplificar expressões, usar a propriedade fundamental das proporções e, acima de tudo, verificar nossos resultados com atenção. E aí, curtiram desvendar esse mistério matemático comigo? Espero que sim! Lembrem-se, a matemática pode parecer desafiadora às vezes, mas com prática e dedicação, podemos superar qualquer obstáculo. Até a próxima, pessoal!