Рівняння Прямої Через Дві Точки: Розв'язуємо Задачі З Геометрії
Усім привіт! Сьогодні ми з вами розберемо, як скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Це дуже важлива тема в геометрії, і розуміння цього матеріалу допоможе вам впоратися з багатьма задачами. Тож, давайте зануримося в цю тему та розглянемо кілька прикладів.
Основні поняття та формули
Перш ніж ми перейдемо до розв'язання конкретних задач, давайте згадаємо основні поняття та формули, які нам знадобляться. Рівняння прямої на площині можна представити в різних формах, але найчастіше використовують загальне рівняння прямої та рівняння прямої, що проходить через дві точки.
Загальне рівняння прямої
Загальне рівняння прямої має вигляд: Ax + By + C = 0, де A, B і C - константи, а x і y - координати точок на прямій. Це рівняння описує будь-яку пряму на площині, і ми можемо використовувати його для перевірки, чи належить точка прямій, підставивши її координати в рівняння.
Рівняння прямої, що проходить через дві точки
Якщо нам дано дві точки на площині, наприклад, (x1, y1) і (x2, y2), ми можемо скласти рівняння прямої, що проходить через ці точки, використовуючи формулу:
(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)
Ця формула дозволяє нам знайти рівняння прямої, маючи лише координати двох точок. Вона базується на тому, що нахил прямої між будь-якими двома точками на ній є однаковим.
Тепер, коли ми згадали основні формули, давайте перейдемо до розв'язання задач, які ви запропонували. Ми розглянемо кожен випадок окремо, щоб вам було легше зрозуміти процес.
Розв'язання задач
1) Пряма, що проходить через точки A(4; 7) і B(4; 0)
У цьому випадку ми маємо дві точки: A з координатами (4; 7) і B з координатами (4; 0). Давайте підставимо ці координати у формулу рівняння прямої, що проходить через дві точки:
(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)
Підставляємо координати точок A і B:
(y - 7) / (0 - 7) = (x - 4) / (4 - 4)
Зверніть увагу, що в знаменнику правої частини ми маємо 0. Це означає, що пряма є вертикальною. Вертикальна пряма має рівняння вигляду x = c, де c - константа. У нашому випадку, оскільки обидві точки мають x-координату 4, рівняння прямої буде:
x = 4
Отже, рівняння прямої, що проходить через точки A(4; 7) і B(4; 0), є x = 4. Це вертикальна пряма, яка перетинає вісь x у точці 4.
2) Пряма, що проходить через точки C(5; -2) і D(7; -2)
Тут у нас є точки C з координатами (5; -2) і D з координатами (7; -2). Знову ж таки, підставимо ці координати у формулу рівняння прямої, що проходить через дві точки:
(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)
Підставляємо координати точок C і D:
(y - (-2)) / (-2 - (-2)) = (x - 5) / (7 - 5)
(y + 2) / 0 = (x - 5) / 2
У цьому випадку ми знову бачимо 0 в знаменнику, але тепер у лівій частині. Це означає, що пряма є горизонтальною. Горизонтальна пряма має рівняння вигляду y = c, де c - константа. Оскільки обидві точки мають y-координату -2, рівняння прямої буде:
y = -2
Таким чином, рівняння прямої, що проходить через точки C(5; -2) і D(7; -2), є y = -2. Це горизонтальна пряма, яка перетинає вісь y у точці -2.
3) Пряма, що проходить через точки M(-1; 2) і N(-3; 4)
У цьому випадку у нас є точки M з координатами (-1; 2) і N з координатами (-3; 4). Підставимо ці координати у формулу рівняння прямої, що проходить через дві точки:
(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)
Підставляємо координати точок M і N:
(y - 2) / (4 - 2) = (x - (-1)) / (-3 - (-1))
(y - 2) / 2 = (x + 1) / (-2)
Тепер ми можемо перехресно помножити, щоб позбутися дробів:
-2(y - 2) = 2(x + 1)
Розкриваємо дужки:
-2y + 4 = 2x + 2
Перенесемо всі члени в одну сторону, щоб отримати загальне рівняння прямої:
2x + 2y - 2 = 0
Ми можемо спростити це рівняння, поділивши всі члени на 2:
x + y - 1 = 0
Отже, рівняння прямої, що проходить через точки M(-1; 2) і N(-3; 4), є x + y - 1 = 0.
4) Пряма, що проходить через точки K(-1; 5) і L(7; 1)
Тут у нас є точки K з координатами (-1; 5) і L з координатами (7; 1). Підставляємо ці координати у формулу рівняння прямої, що проходить через дві точки:
(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)
Підставляємо координати точок K і L:
(y - 5) / (1 - 5) = (x - (-1)) / (7 - (-1))
(y - 5) / (-4) = (x + 1) / 8
Перехресно множимо:
8(y - 5) = -4(x + 1)
Розкриваємо дужки:
8y - 40 = -4x - 4
Перенесемо всі члени в одну сторону, щоб отримати загальне рівняння прямої:
4x + 8y - 36 = 0
Ми можемо спростити це рівняння, поділивши всі члени на 4:
x + 2y - 9 = 0
Отже, рівняння прямої, що проходить через точки K(-1; 5) і L(7; 1), є x + 2y - 9 = 0.
Висновок
Сьогодні ми розглянули, як складати рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Ми використовували формулу (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1) і розв'язали чотири різні задачі. Сподіваюся, що цей матеріал був корисним для вас, і тепер ви зможете легко впоратися з подібними завданнями.
Пам'ятайте, що геометрія – це не тільки формули, але й розуміння просторових відносин. Тому, чим більше ви практикуєтеся, тим краще будете розуміти ці концепції. Удачі вам у навчанні!
Якщо у вас виникнуть додаткові запитання, не соромтеся їх ставити. Ми завжди раді допомогти! Дякую за увагу!