Simplificación De Fórmulas Lógicas: Guía Paso A Paso Con Leyes Proposicionales

¡Hola a todos! Hoy, vamos a sumergirnos en el fascinante mundo de la lógica proposicional y aprender cómo simplificar fórmulas lógicas utilizando las leyes proposicionales. Sé que puede sonar un poco intimidante al principio, pero créanme, con un poco de práctica, ¡se volverá pan comido! A través de este artículo, desglosaremos cada una de las fórmulas que proporcionaste, paso a paso, para que puedas entender cómo se aplican las leyes y obtener las versiones simplificadas. Así que, prepárense para afilar sus lápices (o sus teclados) y ¡vamos a ello!

Simplificando Fórmulas Lógicas: Un Enfoque Detallado

Antes de empezar con los ejercicios específicos, repasemos brevemente algunas de las leyes proposicionales más importantes que utilizaremos. Estas leyes son como las herramientas de un carpintero, nos ayudan a transformar y simplificar las expresiones lógicas. Algunas de las más comunes son:

• Ley de la Doble Negación: ~(~p) ≡ p
• Leyes de De Morgan: ~(p ^ q) ≡ ~p v ~q y ~(p v q) ≡ ~p ^ ~q
• Ley Conmutativa: p ^ q ≡ q ^ p y p v q ≡ q v p
• Ley Asociativa: (p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q ^ r) y (p v q) v r ≡ p v (q v r)
• Ley Distributiva: p ^ (q v r) ≡ (p ^ q) v (p ^ r) y p v (q ^ r) ≡ (p v q) ^ (p v r)
• Ley del Condicional: p → q ≡ ~p v q
• Ley de la Identidad: p ^ V ≡ p y p v F ≡ p (donde V representa Verdadero y F representa Falso)
• Ley de la Dominación: p v V ≡ V y p ^ F ≡ F
• Ley de la Idempotencia: p ^ p ≡ p y p v p ≡ p
• Ley de la Absorción: p v (p ^ q) ≡ p y p ^ (p v q) ≡ p

Entender estas leyes es clave para poder simplificar las fórmulas. Recuerda que el objetivo es transformar la fórmula original en una forma equivalente, pero más simple. Esto significa que las dos fórmulas (la original y la simplificada) deben tener la misma tabla de verdad.

Ejercicio a) ~[(p→q) ^ ~(p v ~q)]

Comencemos con la primera fórmula: ~[(p→q) ^ ~(p v ~q)]. Aquí, aplicaremos varias leyes para simplificarla paso a paso. Primero, recordemos que el condicional (p → q) puede ser reescrito como (~p v q) usando la Ley del Condicional. Sustituyendo esto en la fórmula, obtenemos: ~[(~p v q) ^ ~(p v ~q)]. Ahora, podemos aplicar la Ley de De Morgan al término ~(p v ~q), lo que nos da: ~[(~p v q) ^ (~p ^ ~~q)]. Aplicamos la Ley de la Doble Negación a ~~q, obteniendo: ~[(~p v q) ^ (~p ^ q)]. Ahora, distribuyamos el símbolo de negación fuera del paréntesis. Aplicamos la Ley de De Morgan nuevamente: (~~p ^ ~q) v ~(~p ^ q). Simplificando la doble negación, tenemos: (p ^ ~q) v ~(~p ^ q). Finalmente, podemos notar que esta expresión no se simplifica más fácilmente con las leyes básicas. Por lo tanto, la simplificación final de esta fórmula es (p ^ ~q) v ~(~p ^ q).

Ejercicio b) ~[(p→q) v (q→p)] ^ ~p

En este ejercicio, tenemos ~[(p→q) v (q→p)] ^ ~p. Aplicaremos la Ley del Condicional a ambos condicionales: ~[((~p v q) v (~q v p))] ^ ~p. Ahora, podemos reorganizar los términos dentro del paréntesis usando la Ley Conmutativa y la Ley Asociativa para agrupar los términos de p y ~p, así como q y ~q. Esto nos da: ~[((p v ~p) v (q v ~q))] ^ ~p. Sabemos que (p v ~p) siempre es verdadero (V) y (q v ~q) también siempre es verdadero (V). Entonces, la expresión dentro del paréntesis se convierte en: ~(V v V) ^ ~p. V v V es simplemente V, por lo tanto, tenemos: ~V ^ ~p. La negación de verdadero es falso (F), así que la expresión se simplifica a: F ^ ~p. Finalmente, cualquier cosa en conjunción con falso (F) es falso (F). Por lo tanto, la fórmula simplificada es F.

Ejercicio c) (p→~q) v (~q v p)

Aquí tenemos: (p→~q) v (~q v p). Primero, aplicamos la Ley del Condicional: (~p v ~q) v (~q v p). Ahora, podemos usar la Ley Conmutativa para reorganizar los términos: (~p v p) v (~q v ~q). Sabemos que (~p v p) siempre es verdadero (V), y (~q v ~q) es equivalente a ~q. Entonces, la expresión se convierte en: V v ~q. Cualquier cosa en disyunción con verdadero (V) es verdadero (V). Por lo tanto, la fórmula simplificada es V.

Ejercicio d) ~[(p ^ q) ^ ~q] ↔ p

Tenemos: ~[(p ^ q) ^ ~q] ↔ p. Primero, simplificamos la expresión dentro del paréntesis usando la lógica. (p ^ q) ^ ~q significa que tenemos que p y q sean verdaderos, pero también que q sea falso. Esto es una contradicción, por lo que (p ^ q) ^ ~q es siempre falso (F). Por lo tanto, la fórmula se convierte en: ~F ↔ p. La negación de falso es verdadero (V), entonces tenemos: V ↔ p. La bicondicional (↔) dice que la expresión es verdadera si ambos lados son iguales. Entonces, si p es verdadero, la expresión es verdadera; si p es falso, la expresión es falsa. En otras palabras, la fórmula es equivalente a p. Por lo tanto, la fórmula simplificada es p.

Ejercicio e) ~[(p→q) ^ p] v (~q→~p)

Aquí, tenemos: ~[(p→q) ^ p] v (~q→~p). Primero, aplicamos la Ley del Condicional: ~[ (~p v q) ^ p] v (~~q v ~p). Simplificando la doble negación, obtenemos: ~[ (~p v q) ^ p] v (q v ~p). Ahora, aplicamos la Ley Distributiva dentro de los corchetes: ~(~p ^ p) v (q ^ p). Sabemos que (~p ^ p) es siempre falso (F), entonces la expresión se convierte en: ~F v (q v ~p). La negación de falso es verdadero (V), entonces tenemos: V v (q v ~p). Cualquier cosa en disyunción con verdadero (V) es verdadero (V). Por lo tanto, la fórmula simplificada es V.

Ejercicio f) [(p v ~q) ^ q] → p

Tenemos: [(p v ~q) ^ q] → p. Aplicamos la Ley del Condicional: ~[(p v ~q) ^ q] v p. Ahora, aplicamos la Ley Distributiva: (~p ^ q) v (~(~q) ^ q) v p. Simplificamos la doble negación y reorganizamos: (~p ^ q) v (q ^ q) v p. Recordamos que (q ^ q) es equivalente a q: (~p ^ q) v q v p. Usando la Ley Conmutativa, podemos reorganizar los términos: q v (~p v p). Sabemos que (~p v p) es siempre verdadero (V): q v V. Cualquier cosa en disyunción con verdadero (V) es verdadero (V). Por lo tanto, la fórmula simplificada es V.

Ejercicio g) ~(p ^ q) → ~q v q

Aquí tenemos: ~(p ^ q) → ~q v q. Primero, notamos que (~q v q) es siempre verdadero (V). Por lo tanto, la fórmula se convierte en: ~(p ^ q) → V. Cualquier cosa que implique verdadero (V) es siempre verdadero (V). Por lo tanto, la fórmula simplificada es V.

Ejercicio h) ~[(~p→q) ↔ ~p]

Tenemos: ~[(~p→q) ↔ ~p]. Aplicamos la Ley del Condicional: ~[ (~(~p) v q) ↔ ~p]. Simplificamos la doble negación: ~[(p v q) ↔ ~p]. Ahora, recordemos que la bicondicional (↔) se puede expresar como [(A → B) ^ (B → A)]. Entonces, podemos reescribir la fórmula: ~[((p v q) → ~p) ^ (~p → (p v q))]. Aplicamos la Ley del Condicional a ambos condicionales dentro de los corchetes: ~[ (~(p v q) v ~p) ^ (~~p v (p v q))]. Usando las Leyes de De Morgan y simplificando la doble negación: ~[ ((~p ^ ~q) v ~p) ^ (p v p v q)]. Podemos simplificar aún más: ~[ ((~p ^ ~q) v ~p) ^ (p v q)]. Usando la Ley de Absorción en el primer paréntesis obtenemos: ~[~p ^ (p v q)]. Aplicando la Ley de De Morgan: ~(~p) v ~(p v q). Simplificando y usando la Ley de De Morgan: p v (~p ^ ~q). Esta es la forma simplificada de la fórmula. Finalmente, p v (~p ^ ~q).

Conclusión y Próximos Pasos

¡Felicidades, llegamos al final! Hemos simplificado cada una de las fórmulas lógicas, paso a paso, utilizando las leyes proposicionales. Espero que este artículo haya sido útil y que ahora te sientas más cómodo con la simplificación de fórmulas lógicas. La clave es practicar y familiarizarse con las leyes. Te recomiendo que intentes resolver más ejercicios por tu cuenta, utilizando las mismas leyes y pasos que hemos visto aquí. Recuerda, la práctica hace al maestro. Si te encuentras con dificultades, no dudes en repasar las leyes y volver a intentar. ¡No te rindas! ¡Sigue practicando y te convertirás en un maestro de la lógica proposicional!

Recuerda las claves:

• Identifica las leyes proposicionales aplicables.
• Aplica las leyes paso a paso, transformando la fórmula.
• Revisa tu trabajo para asegurarte de que cada paso sea correcto.
• Recuerda que el objetivo es obtener una fórmula equivalente pero más simple.

¡Hasta la próxima, y que la lógica te acompañe!